Suite de la série sur les symétries en physiques, avec un peu de maths cette fois-ci…

Considérons les deux entiers 1 et -1, et amusons nous avec des multiplications.
Nous avons :
1 x 1 = 1
1 x(-1)=-1
-1x1=-1 (Remarquons que -1 x 1 = 1 x -1).
-1 x -1 = 1
Plus subtil :

(1 x 1) x (-1) = 1 x (1 x (-1))

i.e. quand on fait des plusieurs multiplications, le résultat ne dépend pas de la façon dont on place les parenthèses, si bien que la notation 1 x (-1) x 1 par exemple n’est pas un résultat ambigu [1].
Bon, assez trivial tout cela comme disent les mathématiciens. Et pourtant, quand on y songe, l’ensemble {1,-1} a des propriétés remarquables pour la multiplication :

• d’abord, toute multiplication d’un élément de cet ensemble par un autre est un élément de l’ensemble,
• tout élément multiplié par 1 reste inchangé : 1 est appelé élément neutre.
• pour tout élément e de l’ensemble, il existe un autre élément e’ tel que e x e’ =1, l’élément neutre.
• les résultats des opérations ne dépendent pas de la façon dont on place les parenthèses, c’est-à-dire que pour trois éléments u, y, et z, on a (u x y) x z = u x (y x z).

Toutes ces propriétés définissent ce qu’on appelle en mathématiques un groupe. Notez bien qu’un groupe est un ensemble, auquel on ajoute une loi (ici la multiplication).
Ce n’est pas une notion si élémentaire. Avant de voir des exemples plus compliqués de groupes, voici quelques exemples d’ensembles qui ne sont pas des groupes :

• l’ensemble {1,-1} n’est pas un groupe … pour l’addition. En effet, 1+(-1)=0 et 0 n’est pas dans l’ensemble de départ.
• l’ensemble des entiers naturels positifs N n’est pas un groupe pour la multiplication. Pour plusieurs raisons : l’une d’entre elles est qu’il n’existe pas d’entier n tel que 0 x n =1.
• N muni de l’addition n’est pas un groupe non plus. L’élément neutre pour l’addition est 0 (car 0 + n = n pour tout n). Or il n’existe pas d’entier positif n tel que 1 +n =0.

Vous les voyez, la notion de groupe n’est pas si évidente. Saurez-vous trouver un ensemble qui contient N ou une de ses parties qui est un groupe pour l’addition ? pour la multiplication ?

C’est quoi le rapport avec les symétries ?

En fait, les symétries physiques se rassemblent sous forme de groupes. Les éléments de ces groupes sont les symétries elles-mêmes (qui sont, rappelons-le, des transformations qui laissent invariantes les lois du phénomène considéré). Par exemple, supposons que les lois de la physique soient invariantes par translation. Et bien les translations forment un groupe, si elles sont munies d’une loi nommée la composition. En bon français, la composition se résume à un mot : “puis” ; en mathématiques à un symbole”o”

Exemples :

• translater d’un vecteur A, puis translater d’un vecteur B , c’est comme translater d’un vecteur C (en terme mathématiques t(A) o t(B)=t(C); C a en plus la bonne idée de valoir A+B, ce qui est une propriété un peu subtile que nous aborderons plus tard),

• Les rotations munies de la loi de composition forment aussi un groupe : tourner sur soi-même de 180 degrés, puis tourner sur soi-même de 180 degrés, c’est comme ne pas tourner du tout ( en terme mathématiques r(180) o r (180)=r(0); notez que contrairement au cas précédent 180+180 ne vaut pas 0, cf la subtilité plus haut) .

• La symétrie “renverser le temps” engendre un groupe similaire à notre exemple {1,-1} :

renverser le temps, puis renverser le temps, c’est comme ne rien renverser du tout;

ne rien renverser du tout, puis renverser le temps, c’est comme renverser le temps

renverser le temps, puis renverser le temps, puis renverser le temps, c’est comme renverser le temps

etc …

Il y a évidemment une petite difficulté supplémentaire ici : les symétries sont un peu plus que des nombres, car ce sont des objets mathématiques agissant eux-mêmes sur les objets physiques (par exemple le “sur soi-même” de l’exemple des rotations). En terme physique, les symétries s’appellent des opérateurs. Dans le prochain billet, nous verrons des exemples plus explicites de ces notions.

[1] On voit mieux ce qu’est un résultat ambigu avec deux lois. Par exemple 1 + 2 x 5 est ambigu si on ne met pas de convention sur l’ordre des opérations ou des parenthèses : en effet (1+2) x 5 =15 alors que 1+ (2×5)=11.

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