Le démon de Laplace et la théorie du presque tout
David Wolpert, dans un article de Physica D, démontre l’équivalent des théorèmes d’indécidabilité pour les théories physiques.
(Avertissement : les maths de ce papier ne me sont pas familières et un peu ardues, il est possible que j’ai mal compris quelque chose, mes excuses à mes lecteurs si c’était le cas )
Existe-t-il un algorithme capable de prédire si un autre algorithme va imprimer “Hello world” ? La réponse est non; un tel problème est indécidable comme l’a montré Turing.
Existe-t-il une théorie physique capable de prédire l’état de l’univers à tout moment ? C’était ce que pensait Pierre-Simon Laplace :
Nous devons envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux.
Une telle intelligence supérieure est généralement appelée le “démon de Laplace” (on peut aussi y voir un Dieu …).
On sait depuis que l’univers n’est de toutes façons pas déterministe : la mécanique quantique est fondamentalement probabiliste. Reste que philosophiquement, la question reste posée : si l’univers était vraiment déterministe, pourrions-nous prédire tout ce qui va y arriver ?
David Wolpert propose un formalisme assez ardu pour répondre à cette question. Wolpert définit ce qu’il appelle un dispositif d’inférence (inference device), qui est en fait ni plus ni moins qu’un modèle théorique d’expérience physique. Un dispositif d’inférence est composé de deux “fonctions” : une fonction X qu’il appelle “setup” ou préparation, qui indique dans quel état on prépare l’appareil physique qui fera la mesure, et une fonction Y qu’il appelle conclusion, qui est en fait une fonction booléenne qui va indiquer si la mesure correspond à une valeur donnée a priori.
Un appareil est alors capable d’inférer une fonction (physique) G si, pour toute valeur g de la fonction physique G, on peut préparer le setup dans un état x tel que la conclusion Y renvoie “vrai” si et seulement si la mesure faite par l’appareil est effectivement g.
Tout cela est assez mathématique (et j’espère ne pas avoir fait de contresens) mais à partir de là, Wolpert déroule le formalisme et utilise des formes élaborées du paradoxe du Crétois ou de la diagonale de Cantor pour montrer ses résultats.
Exemple : Wolpert montre que pour tout dispositif d’inférence, il existe des lois impossibles à inférer. En particulier, le démon de Laplace n’est pas capable de tout prévoir. Pour le démon de Laplace, X est l’appareil ou l’ordinateur qui lui permet de faire la prédiction et Y est la vérification de la prédiction. Wolpert construit explicitement un exemple : le démon de Laplace n’est pas capable de prévoir les prédictions qui s’avéreront fausses, i.e. telles que la conclusion de l’expérience renvoie “faux” (c’est dit avec des mots, les maths sont plus claires). On ne peut en effet pas préparer le setup dans un état x telle que la fonction Y renvoie vrai si et seulement si Y renvoie faux (ce qui se conçoit bien…). “Je suis un menteur” enterre définitivement le démon de Laplace.
Wolpert continue et définit ensuite l’inférence forte : un dispositif d’inférence C_1 infère fortement un autre dispositif d’inférence C_2 si et seulement si C_1 est capable de faire toutes les mesures/prédictions du dispositif C_2. Wolpert montre que deux dispositifs d’inférence forte différents ne peuvent s’inférer l’un l’autre (par une nouvelle version du paradoxe du menteur si je comprends bien). Il en tire la conclusion suivante : dans l’univers, il y a au mieux un seul dispositif d’inférence forte. C’est l’équivalent de la machine de Turing universelle pour les dispositifs d’inférence. Dit autrement, il y a une seule théorie physique du tout si vous préférez. Wolpert appelle cela “le théorème du monothéisme”. Seulement, comme on l’a vu plus haut, pour tout dispositif d’inférence, il y a des propositions qu’il ne peut inférer. Cela signifie qu’une théorie du tout est, au mieux, une théorie du presque tout.
Références :
Physical limits of inference, Wolpert D, Physica D 237 (2008) 1257-1281
Philosophy of science: Theories of almost everything, P.-M. Binder, Nature 455 (2008), 884-885
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Categorie(s): Informatique, Physique, Sciences 19 commentaires »
November 8th, 2008 at 12:43
N’est-ce pas une autre démonstration de la théorie du chaos posant comme principe le caractère non déterministe de l’univers? Poincaré avait démontré avec sa théorie des trois corps qu’il n’y pas moyen d’écrire la solution générale du mouvement de trois planètes en interaction…
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November 8th, 2008 at 13:03
En fait, dans le commentaire de Nature que je donne en référence, l’auteur explique que ce raisonnement pourrait expliquer certaines propriétés des attracteurs chaotiques qu’on n’arrive pas à expliquer :
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November 10th, 2008 at 00:54
“On sait depuis que l’univers n’est de toutes façons pas déterministe : la mécanique quantique est fondamentalement probabiliste.”
Depuis quand? L’équation de Schrödinger est déterministe. L’écrasement de la mesure est causée par la décohérence due au couplage avec un très grand système, mais le phénomène reste déterministe.
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November 10th, 2008 at 08:23
@ Godammit : ?????
L’équation de Schrodinger est certes déterministe, mais elle porte sur une fonction d’onde, qui permet de calculer une densité de probabilité. Avec l’équation de Schrodinger vous calculez les probabilités qu’une particule soit à un endroit donné par exemple, mais vous ne pouvez certainement pas prédire où elle est à coup sûr.
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November 26th, 2008 at 11:06
L’equation de Schrodinger ne calcule pas la probabilite qu’une particule soit a un endroit donne, elle calcule une fonction d’onde, qui est l’objet fondamental de la theorie (et non la position de la particule, qui n’a pas de sens precis en mecanique quantique). Ce n’est qu’a l’occasion d’une mesure que le module au carre de cette fonction d’onde peut s’interpreter comme une probabilite. Mais sans ce facteur anthropique (qui peut, je le repete, s’interpreter dans le cadre meme d’equations deterministes dans un systeme plus large), la mecanique quantique est, fondamentalement, deterministe.
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November 26th, 2008 at 11:39
@ Godammit : les équations sur les fonctions d’onde sont déterministes, c’est vrai. Mais l’intérêt d’une théorie physique, c’est d’avoir des prédictions sur la réalité, sur ce que j’appelle plus haut “l’univers”. Prédictions qui sont en général vérifiées par des mesures, faisant donc intervenir des densités de probabilité. La physique est la science du réel, ce n’est pas un jeu mathématique.
L’hamiltonien dépend de la position et de l’impulsion des particules, précisément définis comme des opérateurs, et dont on peut parfaitement calculer la valeur moyenne par exemple. Mais qui dit valeur moyenne, dit interprétation probabiliste. Vous savez sûrement que les atomes ne sont stables qu’en raison des relations d’incertitudes entre position et impulsion; la relation d’incertitude portant sur les valeurs moyennes de ces deux opérateurs. Donc la stabilité des atomes repose bien sur un aspect probabiliste de la mécanique quantique sans qu’il y ait de mesure “antrhopique”.
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November 26th, 2008 at 13:18
Je crois que Godammit nous fait le coup de l’interprétation des univers multiples d’Everett.
Je trouve cette interprétation plus satisfaisante intellectuellement que l’interprétation de Copenhague, mais on ne peut pas vraiment parler de déterminisme: nous n’observerons jamais ces univers parallèles puisque l’équation de Schrödinger est linéaire (ce qui signifie que l’interprétation d’Everett est infalsifiable).
[Reply]
November 29th, 2008 at 21:01
@ tom roud: Bien sûr que la physique est la science du réel. Mais on peut se passer d’une lecture “fondamentalement” probabiliste de la mécanique quantique en réinterprétant les effets probabilistes comme des brisures spontanées de symétrie dans le contexte d’une équation de Schröndinger portant sur une fonction d’onde plus globale incluant notamment l’appareil de mesure (et donc très sensible aux conditions initiales). Qui songerait à dire que la théorie des systèmes chaotiques est fondamentalement probabiliste? Après tout, pour n’importe quel observateur d’un système chaotique, les phénomènes paraissent tout autant probabilistes que l’écrasement de la mesure en méca Q. Idem pour la thermodynamique.
Je passe sur votre sophisme sur les relations d’incertitude. Vous auriez pu tout aussi bien dire: psi module au carré egale densité de probabilité, ergo la mécanique quantique est fondamentalement probabiliste. Pas convaincant.
@ jean: vous n’avez pas bien lu, je n’ai pas parlé d’univers parallèles, mais de décohérence. Celle-ci a bel et bien été utilisée par Everett pour sa théorie des mondes parallèles, mais elle n’en a pas besoin.
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_decoherence
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November 30th, 2008 at 13:01
@ Godammit ”
Personne, mais qui songerait à mettre sur le même plan les systèmes chaotiques et la mécanique quantique ? Ce sont deux choses très différentes. Je ne comprends pas votre argument sur les conditions initiales en mécanique quantique : je ne vois pas pourquoi le fait de considérer un grand système incluant les appareils de mesure change le caractère probabiliste de la mécanique quantique. Comment d’ailleurs expliquez-vous alors les expériences violant les inégalités de Bell sans tenir compte des effets probabilistes (voir par exemple ce billet ? Sans être dans le sujet, je n’ai jamais rien lu de convaincant là-dessus de la part des partisans du tout déterminisme (mais je suis peut-être conservateur). En réalité, je suis un chaud partisan de la devise de l’interprétation de Copenhague : “shut up and calculate”
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November 30th, 2008 at 13:11
Ce n’est pas un sophisme : comme je vous le dis plus haut, la physique est la science du réel. Or, ce qui est “réel”, “mesurable”, ce n’est pas la fonction d’onde, c’est une série de mesures qui vont permettre de déduire la densité de probabilité. Et toute prédiction expérimentale en mécanique quantique se ramène in fine à un calcul de densité de probabilité qu’on doit vérifier expérimentalement. C’est pour cela que je dis que la mécanique quantique est profondément probabiliste. Mon point sur la stabilité de l’atome est que la “nature” elle-même “calcule” en permanence ces valeurs moyennes si vous voulez, je voulais surtout répondre à votre objection sur le caractère anthropique de la mesure.
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November 30th, 2008 at 18:21
@Godammit: La non-commutativité des mesures fait tout de même qu’il y a une différence de taille entre le chaos et la mécanique quantique:
Dans le cas d’un système chaotique, la précision de la prédiction que l’on peut faire à un temps suffisamment proche est proportionnelle à la précision de la condition initiale. (Le temps pour lequel une prédiction est possible est en revanche proportionnel au logarithme de la précision de la condition initiale.)
En revanche, pour un système quantique, quelque soit l’information dont on dispose, on ne pourra pas prévoir comment un photon polarisé horizontalement se comportera *expérimentalement* face à une lame polarisante à 45°. Quant à la théorie de la décohérence, elle fait habituellement intervenir des opérateurs-densité, ce qui n’est pas franchement déterministe.
Si la MQ est déterministe, je ne vois quelle théorie ne l’est pas. Après tout, dans la plupart des théories probabilistes, la distribution de probabilité suit une équation tout ce qu’il y a de plus déterministes.
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December 1st, 2008 at 19:21
Je ne suis pas convaincu par l’idée que la nature calcule des valeurs moyennes, même entre guillemets, et quand bien même elle le ferait, vous n’appelez ça valeur moyenne que parce que vous partez du principe que la fonction d’onde correspond intrinsèquement à une probabilité, ce qui n’est justifié que par le postulat de la mesure. Idem pour les inégalités de Bell. Je pourrais appeler ça une projection d’opérateur, et conceptuellement je n’aurais rien perdu, pas plus que dans ma capacité à prévoir et expliquer les expériences.
Toute l’interprétation probabiliste se ramène donc au postulat de la mesure, qui prévoit l’écrasement de la fonction d’onde dans un état compatible avec ce qui a été mesuré. Mais cet écrasement n’est pas intrinsèque, il dépend de l’état précis de l’environnement, et notamment de l’appareil de mesure, qui va déterminer de quel côté la fonction d’onde “bascule”. Evidemment, pour répondre à Jean, on ne peut pas prévoir quelle va être la mesure (i.e. quel état est choisi), pas plus qu’on ne peut prévoir expérimentalement le résultat d’un jet de dés. Pour autant la théorie qui sous-tend le jet de dés n’a pas besoin d’être intrinsèquement probabiliste.
Au passage, les expériences d’interférence montrent qu’il est faux de dire qu’on ne peut pas avoir accès à la fonction d’onde elle-même, sinon par la densité de proba. La phase compte aussi.
“Shut and calculate”? Pourquoi pas. Dans ce cas je trouve bien imprudent de qualifier la mécaQ de fondamentalement probabiliste.
[Reply]
December 1st, 2008 at 23:46
Godamnit, je ne suis vraiment pas du tout d’accord avec vous. Les projections d’opérateur, c’est des maths, la physique derrière, c’est que ce sont des valeurs moyennes, la mesure physique est d’une façon ou d’une autre une mesure de densité de probabilité, non ? On peut certainement oublier que les fonctions d’onde servent à calculer des densités de probabilité ou des valeurs moyennes, mais dans ce cas on fait de l’algèbre linéaire, pas de la physique.
Pour les expériences d’interférence, je ne vois pas votre point puisqu’elles existent classiquement. Donc le profil d’interférence s’interprète très bien sans recours à une fonction d’onde; je ne vois pas dans quel mesure ce profil montre qu’on a accès directement à cette fonction d’onde. Au passage, dans la frange d’interférence, si la phase de l’onde est nulle, c’est bien le module de la fonction d’onde qui l’est.
“Dieu ne joue pas aux dés”, ce n’est pas de moi, et l’auteur de cet aphorisme voulait bien dire que le caractère fondamentalement probabiliste de la mécaQ le gênait, non ? S’il pensait que la mécanique quantique était complètement déterministe, Einstein aurait-il dit cela ?
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December 2nd, 2008 at 11:35
Tom roud, les probabilites, c’est des maths aussi. Les valeurs moyennes, c’est des mathematiques. L’argument naturaliste s’essoufle un peu, d’autant plus que les valeurs moyennes ne sont *jamais* mesurees directement, ni par nous ni par la “nature”. La theorie de la physique quantique a une base mathematique, que vous le vouliez ou non. Apres tout, c’est bien vous qui parliez de calculer, non? Et quand on calcule, on fait de l’algebre lineaire, ou autre chose. Et a la fin on dit: ma mesure sera cela. Ou bien, si un ecrasement est escompte: mes probabilites sont celles-ci. Et dans ce dernier cas, on revient a l’ecrasement de la mesure. Mais je maintiens que les inegalites de Bell et la stabilite de l’atome n’ont absolument pas besoin de probabilites.
Les interferences d’electrons n’existent pas classiquement, cher Tom Roud. Et si le module s’annule, c’est par le concours de deux ondes dephasees. Point de theorie, point de prediction, si on ne prend que le module en compte. Pour faire operer une theorie, il faut bien faire de l’algebre, et il se trouve que dans le cas de la mecaQ cette algebre n’est meme pas une algebre de probabilites.
Je me fiche de ce qu’Einstein pensait, franchement, ca date, et puis en l’espece il semble bien qu’il se plantait, non?
[Reply]
December 2nd, 2008 at 12:15
@Godammit:
J’ai l’impression que l’on va tourner en rond tant que l’on n’aura pas défini ce qu’est une théorie déterministe.
Pour moi, une théorie déterministe donne des prédictions expérimentalement vérifiables avec une précision arbitrairement bonne, pour un temps suffisamment petit et des données initiales suffisamment précises. Ce n’est pas le cas de la mécanique quantique, où quelque soit la finesse des mesures ou la durée de l’expérience, on ne peut réduire l’incertitude.
Maintenant, il y a peut-être une autre définition pertinente pour déterministe. Si vous en connaissez une autre, donnez la nous ainsi qu’un exemple de théorie non déterministe.
[Reply]
December 2nd, 2008 at 12:42
Si je considère les électrons comme une onde et pas comme des particules, c’est gagné (vous savez, dualité ondes-corpuscules, tout ça …). Et puis vous parlez d’électrons, mais cela marche aussi pour des photons; simplement cela vous choque moins parce qu’on considère classiquement la lumière comme une onde.
Et si je comprends bien, Einstein était un crétin qui n’avait rien compris à la mécanique quantique, et on a beaucoup avancé depuis, c’est ça ? C’est vrai que l’équation de Schrodinger, les fonctions d’ondes, les débats sur la réalité de la mécanique quantique, ça ne date pas. Et ce n’est pas comme si des gens s’étaient amusés récemment à revenir sur le paradoxe EPR par exemple sous le lac Léman … Je déplore un peu que ces débats classiques suscitent plus de passions que ce qu’a montré David Wolpert par exemple, qui me semble intéressant philosophiquement, et qui a au moins l’attrait de la nouveauté et pas de la physique des années 30. On est en train à mon sens de faire un mauvais remake de débats entre physiciens bien plus brillants que nous.
Comme jean, je suis aussi curieux de savoir ce qu’est pour vous une théorie physique non déterministe.
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December 4th, 2008 at 18:35
Jean: Comment etes-vous sur que si nous avions une representation parfaite de la fonction d’onde d’un systeme ferme, nous ne puissions pas prevoir son etat plus tard? Pour cela nous n’avons besoin que de l’equation de Schrodinger. Ca, c’est la theorie. Effectivement, pour valider la prediction, il faut mesurer, et dans ce cas le systeme n’est plus ferme, car la mesure implique necessairement un couplage. Dans ce sens, je suis d’accord, la mecaQ n’est pas deterministe. Mais le meme arguement s’applique a *toute* theorie fondamentale. Votre definition de theorie deterministe ne me convient donc pas, car aucune theorie n’est verifiable avec une precision arbitraire du fait du couplage avec l’instrument de mesure.
Pour moi, une theorie non deterministe est une theorie ou l’objet considere est probabiliste. Donc par exemple la theorie des systemes stochastiques est non-deterministe. Mais je ne dirais pas qu’elle est fondamentale.
Tom Roud, je suis d’accord que le debat est vieux. Mais avouez que vous remettez des sous dans la machine.
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December 5th, 2008 at 17:45
Justement, je ne suis pas sûr que le couplage instrument-objet limite la précision des instruments de mesure:
Il n’y a pas de théorème de non-clonage en mécanique classique (mais en mécanique statistique oui), contrairement à la mécanique quantique.
(Et sinon, je suis d’accord que l’équation de Schrödinger est déterministe. Seule son utilisation est probabiliste).
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October 26th, 2009 at 16:01
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